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Il dessine ce logo à l’aide des courbes de deux fonctions \(f\)  et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f (x) = \text{e}^{−x} (− \cos (x) + \sin (x) + 1)\) et \(g (x) = −\text{e}^{−x} \cos( x)\) .
On admet que les fonctions   \(f\)  et \(g\) sont dérivables sur   \(\mathbb{R}\) .

Partie A - Étude de la fonction \(\boldsymbol{f}\)

1. Justifier que, pour tout réel  \(x\) , on a \(−\text{e}^{−x} \leqslant f (x) \leqslant 3\text{e}^{−x}\) .
2. En déduire la limite de \(f\)  en \(+\infty\) .
3. Démontrer que, pour tout réel \(x\) , \(f'(x) = \text{e}^{−x} (2\cos (x) − 1)\) .
4. Dans cette question, on étudie la fonction \(f\)  sur \([−π \ ; \ π]\) .
    a. Déterminer le signe de \(f'(x)\)   sur \([−π \ ; \ π]\) .
    b. En déduire les variations de \(f\)  sur \([−π \ ; \ π]\) .

Partie B - Aire du logo

On note \(\mathscr{C}_f\) et  \(\mathscr{C}_g\) les représentations graphiques des fonctions \(f\)  et \(g\) dans un repère orthonormé \((\text{O},\ \vec{i},\ \vec{j})\) . L’unité graphique est de 2 centimètres.
Ces deux courbes sont tracées ci-dessous.
1. Étudier la position relative de la courbe  \(\mathscr{C}_f\) par rapport à la courbe \(\mathscr{C}_g\)  sur \(\mathbb{R}\) .
2. Soit  \(H\) la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\) par  \(H (x) =\left(− \dfrac{\cos( x)}{2} − \dfrac{\sin( x)}{2} − 1\right)\text{e}^{−x}\) .
On admet que \(H\) est une primitive sur  \(\mathbb{R}\) de la fonction \(x \mapsto (\sin (x) + 1)\text{e}^{−x}\) .
On note  \(\mathscr{D}\) le domaine délimité par la courbe  \(\mathscr{C}_f\) , la courbe  \(\mathscr{C}_g\) et les droites d’équations \(x=-\dfrac{\pi}{2}\) et \(x=\dfrac{3\pi}{2}\) .
    a. Hachurer le domaine \(\mathscr{D}\)  sur le graphique.
    b. Calculer, en unité d’aire, la valeur exacte de l’aire du domaine \(\mathscr{D}\) , puis en donner une valeur approchée à \(10^{−2}\) près en \(\text{cm}^2\) .